Der Effekt eingehender Links

Es wurde bereits gezeigt, dass ein jeder eingehender Link auf ein Webseite deren Pagerank stets erhöht. Bei oberflächlicher Betrachtung des ursprünglichen PageRank-Algorithmus

PR(A) = (1-d) + d (PR(T1)/C(T1) + ... + PR(Tn)/C(Tn))

möchte man meinen, ein zusätzlicher eingehender Link erhöht den PageRank der verlinkten Seite um

d × PR(X) / C(X)

wobei PR(X) der PageRank der verlinkenden Seite X und C(X) deren Anzahl ausgehender Links ist. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich allerdings, dass eine Webseite, die einen zusätzlichen eingehenden Link erhält, selbst auch auf andere Webseiten verlinken kann. Diese erhalten nunmehr ebenfalls einen höheren PageRank, den sie gegebenfalls wiederum über Links an unsere Seite mit dem zusätzlichen eingehenden Link zurückgeben.

Die einzelnen Effekte zusätzlicher eingehender Links sollen nun anhand eines Beispiels beschrieben werden.

Wir betrachten eine kleine Website aus den Seiten A, B, C und D, die im Kreis verlinkt sind und nicht selbst auf andere Webseiten verlinken. Ohne eingehende Links von externen Seiten ergibt sich ganz offensichtlich ein PageRank von 1 für jede der betrachteten Seiten. Wir wählen nunmehr eine Seite X, für die ein PageRank PR(X) von 10 angenommen wird. Seite X verlinkt auf Seite A und sonst auf keine andere Seite. Bei einem willkürlich gewählten Dämpfungsfaktor von 0.5 ergibt sich das folgende Gleichungssystem für den PageRank der einzelnen Seiten unserer Site:

PR(A) = 0.5 + 0.5 (PR(X) + PR(D)) = 5.5 + 0.5 PR(D)
PR(B) = 0.5 + 0.5 PR(A)
PR(C) = 0.5 + 0.5 PR(B)
PR(D) = 0.5 + 0.5 PR(C)

Da die Anzahl der ausgehenden Links jeder Seite gleich 1 ist, müssen diese hier nicht berücksichtigt werden. Die Lösung des Gleichungssystems ergibt folgende Werte für den PageRank der einzelnen Seiten:

PR(A) = 19/3 = 6.33
PR(B) = 11/3 = 3.67
PR(C) = 7/3 = 2.33
PR(D) = 5/3 = 1.67

Der unmittelbare Effekt des zusätzlichen Links auf Seite A in Höhe von

d × PR(X) / C(X) = 0,5 × 10 / 1 = 5

setzt sich also über die Verlinkung der einzelnen Seiten untereinander fort.

Der Einfluss des Dämpfungsfaktors

Der Grad der Weitergabe von PageRank ist vor allem auch abhängig von der Höhe des Dämpfungsfaktors d. Wird für diesen beispielsweise ein Wert von 0.75 angenommen, ergibt sich für das obige Beispiel das folgende Gleichungssystem:

PR(A) = 0.25 + 0.75 (PR(X) + PR(D)) = 7.75 + 0.75 PR(D)
PR(B) = 0.25 + 0.75 PR(A)
PR(C) = 0.25 + 0.75 PR(B)
PR(D) = 0.25 + 0.75 PR(C)

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt folgende Werte für den PageRank der einzelnen Seiten:

PR(A) = 419/35 = 11.97
PR(B) = 323/35 = 9.23
PR(C) = 251/35 = 7.17
PR(D) = 197/35 = 5.63

Es zeigt sich zunächst ein wesentlich höherer unmittelbarer Effekt des zusätzlichen eingehenden Links auf den PageRank von Seite A in Höhe von

d × PR(X) / C(X) = 0.75 × 10 / 1 = 7.5

Dieser Effekt setzt sich nun aber noch verstärkt durch die interne Verlinkung der Seiten fort, so dass der PageRank von Seite A bei einem Dämpfungsfaktor von 0.75 beinahe doppelt so hoch ist wie bei einem Dämpfungsfaktor von 0.5. Ist der PageRank von Seite A bei einem Dämpfungsfaktor von 0.5 noch beinahe viermal größer als der Pagerank von Seite D, so ist er bei einem Dämpfungsfaktor von 0.75 nur noch etwas mehr als doppelt so groß. Je höher der Dämpfungsfaktor ist, um so stärker ist einerseits der Effekt auf den PageRank der den Link erhaltenden Seite und um so gleichmäßiger verteilt sich andererseits der PageRank auf die anderen Seiten der Site.

Der tatsächliche Effekt eingehender Links

Die Summe der PageRank-Werte aller Seiten bei einem Dämpfungsfaktor von 0.5 beträgt in unserem Beispiel

PR(A) + PR(B) + PR(C) + PR(D) = 14

Dadurch, dass eine Seite mit einem PageRank von 10 mit ihrem einzigen Link auf eine Seite der Beispiel-Site verlinkt, erhöht sich also deren aufaddierter PageRank um 10. (Vor Erhalt des Links hatte jede Seite einen PageRank von 1.) Bei einem PageRank von 0.75 beträgt die Summe der PageRank-Werte

PR(A) + PR(B) + PR(C) + PR(D) = 34

Der aufaddierte PageRank erhöht sich also um 30. Es zeigt sich, dass sich die Summe des PageRanks stets um

(d / (1-d)) × (PR(X) / C(X))

erhöht, wenn X die verlinkende Seite, PR(X) deren PageRank und C(X) die Anzahl der ausgehenden Links von Seite X ist. Dieser Wert ist allerdings daran gebunden, dass die Verlinkung in ein geschlossenes Sytem von Webseiten, also etwa eine Website ohne ausgehenden Link erfolgt. Sofern von der Website Links auf andere, externe Webseiten gesetzt sind, verringert sich der Faktor entsprechend.

Die Begründung für den oben angegebenen Wert liefert uns Raph Levien und sie bezieht sich auf das Random Surfer Modell. Die Länge eines Surf-Vorgangs des Zufalls-Surfers ist eine Exponentialverteilung mit einem Mittel von (d/(1-d)). Wenn also der Zufalls-Surfer einen Link auf ein geschlossenes System von Webseiten verfolgt, besucht er im Schnitt genau (d/(1-d)) Seiten innerhalb dieses geschlossenen Systems. Und genau so viel mehr PageRank der ursprünglich verlinkenden Seite - gewichtet nach der Anzahl der ausgehenden Links - muss damit an das geschlossene System übertragen werden.

Lawrence Page und Sergey Brin geben regelmäßig einen Dämpfungsfaktor von 0.85 für die tatsächliche PageRank-Berechnung an. Damit ergibt sich ein Faktor für die Erhöhung des aufaddierten PageRanks einer geschlossenen Site durch einen zusätzlichen eingehenden Link von Seite X in Höhe von

(0.85 / 0.15) × (PR(X) / C(X)) = 5.67 × (PR(X) / C(X))

Eingehende Links haben also einen weitaus größeren Effekt auf den PageRank als man bei oberflächlicher Betrachtung annehmen mag.

Die PageRank-1 Regel

Viele Nutzer der Google Toolbar stellen fest, dass oftmals Seiten mit einem bestimmten Toolbar-PageRank eine darauf verlinkende Seite mit einem Toolbar-PageRank aufweisen, der um den Wert 1 höher ist als der der verlinkten Seite. Diese Beobachtung dient vielfach dazu, den hier präsentierten PageRank-Algorithmus in Frage zu stellen. Dagegen soll an dieser Stelle gezeigt werden, dass die Beobachtung vollkommen im Einklang mit dem hier präsentierten PageRank-Algorithmus steht.

Zuallererst stützt die PageRank-1 Regel das grundlegende Konzept des PageRank-Verfahrens. Webseiten sind genau dann bedeutsam, wenn andere bedeutsame Webseiten auf sie verweisen. Es ist nicht erforderlich, dass eine Website viele eingehenden Links erhält, um einen hohen PageRank zu bekommen. Ein einzelner Link von einer Website mit einem hohen PageRank reicht hierzu aus.

Dafür, dass die PageRank-1 Regel auch mit dem hier präsentierten PageRank-Algorithmus in Einklang steht, sind mehrere Faktoren verantwortlich. Zunächst ist Toolbar-PageRank eine logarithmisch skalierte Version des tatsächlichen PageRank. Wenn der PageRank einer verlinkenden Seite im Sinne der Toolbar um eins höher ist als derjenige der verlinkten Seite, so kann ihr tatsächlicher PageRank immer mindestens um einen Faktor höher sein, der der Basis des für die Skalierung eingesetzten Logarithmus entspricht. Ist also die Basis des Logarithmus gleich 6, und der Toolbar-PageRank der verlinkenden Seite gleich 5, so kann der tatsächliche PageRank der verlinkten Seite immer mindestens 6 Mal kleiner sein, damit diese in jedem Fall noch einen Toolbar-PageRank von 4 erreicht.

Der Basis des Logarithmus wirkt nun die Anzahl der ausgehenden Links auf der verlinkenden Seite entgegen, da deren PageRank praktisch unter allen verlinkten Seiten aufgeteilt wird. Es wurde allerdings oben auf dieser Seite bereits gezeigt, dass der über einen Link an eine Seite weitergegebene PageRank weitaus größer sein kann, als der im Algorithmus erscheinenden Term d(PR(Ti)/C(Ti)) vermuten lässt. Dies hängt damit zusammen, dass intern in der Regel weitere Seiten auf die von außen verlinkte Seite verlinken und somit weiteren PageRank auf diese Seite verteilen. Gehen wir nun etwa davon aus, dass die logarithmische Basis für die Skalierung 6 beträgt und weiterhin bei einem hohen Dämpfungsfaktor das doppelte des nach ausgehenden Links gewichteten PageRank der verlinkenden Seite auf die verlinkte Seite übertragen wird, so könnte die verlinkende Seite mindestens 12 ausgehende Links haben, damit die verlinkte Seite immer noch einen Toolbar-PageRank aufweist, der maximal um 1 kleiner ist als derjenige der verlinkenden Seite.

Eine Zahl von 12 ausgehenden Links erscheint an dieser Stelle zugegebenermaßen sehr gering. Allerdings ist es in aller Regel so, dass wenn eine Webseite von außen verlinkt wird, dies nicht nur von einer einzelnen Seite geschieht, und der betrachteten Seite somit noch weiterer PageRank übertragen wird. Falls sich Beispiele finden, bei der eine Seite durch einen einzigen externen Link ein PageRank übertragen wird, der der PageRank-1 Regel entspricht, und die verlinkende Seite eine hohe Zahl ausgehender Links hat, so ist dies vor allem ein Indiz dafür, dass der PageRank der verlinkenden Seite sich im oberen Bereich ihres Toolbar-PageRank-Wertes befindet. Schließlich könnte die verlinkende Seite aus unserem Beispiel eine "hohe" 5 und die verlinkte Seite eine "tiefe" 4 sein. In diesem Falle könnte die verlinkende Seite bis zu 72 ausgehende Links aufweisen. Diese Zahl würde sich weiter erhöhen, wenn wir von einer größeren logarithmischen Basis für die Skalierung des Toolbar-PageRanks ausgehen.

Der Effekt ausgehender Links

PageRank und Google sind geschützte Marken der Google Inc., Mountain View CA, USA. Das PageRank Verfahren unterliegt dem US Patent 6,285,999.

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